Komputer Numerik - Rangkuman

1.     Metode Tertutup : Regula Fasi

Metode regula falsi adalah metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range. Seperti halnya metode biseksi, metode ini bekerja secara iterasi dengan melakukan update range.Titik pendekatan yang digunakan oleh metode regula-falsi adalah :

x=  (f(b).a-f(a).b)/(f(b)-f(a))

Algoritma Metode Regula Falsi

1. definisikan fungsi f(x)

2. Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b)

3. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)

4. Hitung Fa = f(a) dan Fb = f(b)

5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau error > e

 Hitung Fx = f(x)

 Hitung error = |Fx|

 Jika Fx.Fa <0 maka b = x dan Fb = Fx jika tidak a = x dan Fa = Fx.

6. Akar persamaan adalah x.

2.1.Metode Newton Raphson

Metode newton raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu

titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik

tersebut.Titik pendekatan ke n+1 dituliskan dengan :

X_n+1 = X_n + F(X_n)/F^I(X_n)

Algoritma Metode Newton Raphson

1. Definisikan fungsi f(x) dan f1(x)

2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)

3. Tentukan nilai pendekatan awal x0

4. Hitung f(x0) dan f1(x0)

5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)|≥ e

X_i+1 = X_i + F(X_i)/F^I(X_i)

Hitung f(xi) dan f1(xi)

6. Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh.

2.2.Metode Secant

Metode secant merupakan perbaikan dari metode regula-falsi dan newton raphson dimana kemiringan dua titik dinyatakan sacara diskrit, dengan mengambil bentuk garis lurus yang melalui satu titik.

y - y₀ = m(x - x₀ )

dimana m diperoleh dari:

m_n = [f(x_n)x_n-1 – f(x_n-1)x_n] / [f(x_n) – f(x_n-1)]

Algoritma :

n  Definisikan fungsi F(x)

n  Definisikan torelansi error (e) dan iterasi maksimum (n)

n  Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya terdapat akar yaitu x0 dan x1, sebaiknya gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin titik pendakatannya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan.

n  Hitung F(x0) dan F(x1) sebagai y0 dan y1

n  Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |F(xi)|

                       

    

            hitung y_i+1 = F(x_i+1)

n  Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir.

3.Akar Ganda

Akar ganda berpadanan dengan suatu titik dimana fungsi menyinggung sumbu x. Misalnya, akar ganda-dua dihasilkan dari

F(x) = (x-3)(x-1)(x-1)  .................(*)

atau dengan mengalikan faktor-faktornya,

f(x) = x³ – 5x² + 7x - 3

Persamaan tersebut mempunyai akar kembar karena satu nilai x menyebabkan dua faktor dalam Persamaan (*) sama dengan nol. Secara grafis, ini berpadanan

terhadap kurva yang menyentuh sumbu x secara bersinggungan pada akar kembar tersebut.

Akar ganda-tiga (triple root) berpadanan dengan kasus dimana satu nilai membuat tiga faktor dalam suatu persamaan sama dengan nol, seperti dalam

F(x) = (x-3)(x-1)(x-1)(x-1)

atau,dengan mengalikan faktor-faktornya,

f(x) = x⁴ – 6x³ + 12x² – 10x -3

4.Akar-Akar Polinom

Polinom adalah persamaan matematika berderajat-n, dengan kata lain pernyataan matematika yang melibatkan penjumlahan, perkalian, dan pemangkatan dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien. Bentuk baku polinom derajat ≤ n adalah

P(x) =  a₀ + a₁x +a₂x² + ... + a_nxⁿ

Semua metode pencarian akar dapat diterapkan pada polinom. Misalnya dengan metode Newton-Raphson :

x_r+1 = x_r   - (p(x_r)/p’(x_r)

4. 1. Metode Horner untuk Evaluasi Polinom

Metode Horner, atau disebut juga metode perkalian bersarang (nested multiplication) menyediakan cara perhitungan polinom dengan sedikit operasi perkalian. Dalam hal ini, polinom p(x) dinyatakan sebagai perkalian bersarang

P(x) = a₀ + x(a₁ +x(a₂ + x(a₃ + ... +x(a_n-1 + a_nx) .. )))

Algoritma :

{ Dalam program utama telah didefinisikan:

const n=...; {derajat polinom}

var a, b, c: array[1..n]of real

}

function p(t:real):real;

{ menghitung p(t) dengan metode Horner }

var

k: integer;

begin

b[n]:=a[n];

for k:=n-1 downto 0 do

b[k]:=a[k] + b[k+1] * t;

{end for}

p:=b[0];

end;

4.2 Pencarian Akar-akar Polinom

Proses perhitungan p(x) untuk x = t dengan metode Horner sering dinamakan pembagian sintetis p(x) : x-t, menghasilkan q(x) dan sisa b₀.

[p(x) / (x-t) = q(x) ] + sisa b₀

atau

p(x) = b₀ + (x-t)q(x)

yang dalam hal ini,

q(x) = b_nx^n-1 + b_n-1x^n-2 + ...+ b₃x² + b₂x + b₁

Prosedur Newton_Raphson untuk menghitung akar polinom

Procedure Newton_Raphson_untuk_polinom(n:integer; x:real);

{ procedure Newton_Raphson untuk menghitung akar polinom p(x) yang

berderajat n dengan tebakan awal akar x

K.Awal : n adalah derajat polinom; x adalah tebakan awal akar;

Kedua nilai sudah terdefinisi

K.akhir : Hampiran akar polinom tercetak di layar.

}

Const

epsilon = 0.0000001;

var

x_sebelumnya : real;

function p(t:real):real;

{menghitung p(t) dengan metode Horner}

var

k: integer;

begin

b[n]:=a[n];

for k;=n-1 downto 0 do

b[k]:s=a[k] + b[k+1] * t;

{end for}

p:=b[0];

end {p};

function q(t:real):real;

{menghitung p’(t)=q(t) dengan metode Horner}

var

k: integer;

begin

c[n]:=b[n];

for k;=n-1 downto 1 do

c[k]:=b[k] + t *c[k+1];

{end for}

q:=c[1];

end {q};

begin

repeat

x_sebelumnya:=x;

x:=x – p(x)/q(x);

until ABS (x – x sebelumnya) < epsilon ;

{x adalah akar polinom}

Writeln (‘Hampiran akar = ‘, x:10:6) ;

end ;

4.3. Lokasi Akar Polinom

Metode Newton_Raphson memerlukan tebakan awal akar. Misalkan akar-akar diberi indeks dan diurutkan menaik sedemikian sehingga

| x₁|≤|x₂|≤|x₃|≤ ... ≤|x_n|

Tebakan awal untuk akar terkecil  x₁ menggunakan hampiran

a₀ + a₁x ≈ 0

x ≈ -a₀/a₁

yang dapat dijadikan sebagai tebakan awal untuk menemukan x₁ . Tebakan awal untuk akar terbesar x_n menggunakan hampiran

a_n-1x^n-1+a_nxⁿ ≈ 0

x ≈ -a_n-1/a_n

yang dapat dijadikan sebagai tebakan awal untuk menemukan x_n.

Contoh:Tentukan tebakan awal untuk mencari akar polinom x² -200x +1 = 0.

Penyelesaian:

Tebakan awal untuk akar terkecil adalah  x₀ = - 1/-200 =1/200

Tebakan awal untuk akar terbesar adalah x₀ = - -200/1 = 200

5.1.Sistem Persamaan Non Linear Metode Iterasi Titik Tetap

Prosedur lelarannya titik-tetap untuk sistem dengan dua persamaan non linear:

X_r+1 = g₁(x_r,y_r)

y_r+1 = g₂(x_r,y_r)

r = 0,1,2,,,,

Metode lelaran titik-tetap seperti ini dinamakan metode Iterasi Jacobi. Kondisi berhenti (konvergen) adalah

|x_r+1 – x_r|<ε dan |y_r+1 – y_r|< ε

Kecepatan konvergensi lelaran titik-tetap ini dapat ditingkatkan. Nilai x_r+1yang baru dihitung langsung dipakai untuk menghitung y_r+1. Jadi,

X_r+1 = g₁(x_r,y_r)

y_r+1 = g₂(x_r+1,y_r)

r = 0,1,2,,,,

Metode lelaran titik-tetap seperti ini dinamakan metode lelaran Seidel. Kondisi berhenti (konvergen) adalah

|x_r+1 – x_r|<ε dan |y_r+1 – y_r|< ε

Untuk fungsi dengan tiga persamaan non linear, lelaran Seidelnya adalah

X_r+1 = g₁(x_r,y_r,z_r)

y_r+1 = g₂(x_r+1,y_r ,z_r)

z_r+1 = g₃(x_r+1,y_r+1 ,z_r)

r = 0,1,2 ....

Kondisi berhenti (konvergen) adalah

|x_r+1 – x_r|<ε dan |y_r+1 – y_r|< ε dan|z_r+1 – z_r|< ε

·         Pada range I = [s-h, s+h] dengan s titik tetap

·         Jika 0<g’(x)<1 untuk setiap x Є I iterasi konvergen monoton.

·         Jika -1<g’(x)<0 untuk setiap x Є I iterasi konvergen berosilasi.

·         Jika g’(x)>1 untuk setiap x Є I, maka iterasi divergen monoton.

·         Jika g’(x)<-1 untuk setiap x Є I, maka iterasi divergen berosilasi.

5.2. .Sistem Persamaan Non Linear Metode Newton-Raphson

Metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut.Titik pendekatan ke n+1 dituliskan dengan :

X_n+1 = x_n -

Algortima Model Newton-Raphson :

1.      Definisikan fungsi f(x) dan f¹(x)

2.      Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)

3.      Tentukan nilai pendekatan awal x₀

4.      Hitung f(x₀) dan f^’(x₀)

5.      Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(x_i)|> e

·         Hitung f(x_i) dan f¹(x_i)

·         Akar persamaan adalah nilai x_i yang terakhir diperoleh.